You Asked:

template<typename T,int N=maxn>
struct Bit {
    T c[N+5];
    //Bit(){}
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;      }
    inline int fa(int p)     { return p+lowbit(p); }
    inline int left(int p)   { return p-lowbit(p); }

    void update(int p, T v){
        for( ; p <= N; p = fa(p) ) c[p] += v;
    }

    T query(int p){ //前缀合
        T sum=0;
        for( ;p > 0 ; p = left(p)) sum+= c[p];
        return sum;
    }
};
Bit<ll> bit;

如何证明(数学), p+ lowbit(p) 就是父亲

Gemini Responded:

这是一个非常深刻且经典的问题。要理解为什么 p + lowbit(p) 是 p 的父亲（或者更准确地说是直接覆盖 p 的下一个区间节点），我们需要从二进制表示和树状数组（BIT）的区间定义两个角度来证明。

1. 核心定义：节点代表什么？

在树状数组中，每一个索引 t 不仅仅是一个下标，它代表一个区间。 对于任意节点 t，它维护的区间是：

更新操作（Update）的本质： 当我们更新位置 p 的值时，我们需要更新所有覆盖了位置 p 的节点。 也就是寻找所有满足以下条件的 $y$：

1. $y \ge p$ （父节点索引必然大于等于子节点）
2. $p \in [y - \text{lowbit}(y) + 1, \quad y]$ （区间包含关系）

2. 数学证明：为什么 p + lowbit(p) 覆盖了 p

我们要证明：如果令 $y = p + \text{lowbit}(p)$，那么节点 $y$ 的区间一定包含 $p$。

步骤 A：二进制表示 设 $p$ 的二进制表示中，最低位的 1 在第 $k$ 位（从0开始计数）。 那么 $p$ 可以写成：

步骤 B：执行加法 计算 $y = p + \text{lowbit}(p)$：

步骤 C：分析 $y$ 的性质 观察 $y$ 的表达式 $(A + 1) \cdot 2^{k+1}$。这意味着 $y$ 的二进制末尾至少有 $k+1$ 个 0。 因此，$y$ 的最低位 1 的位置至少是 $k+1$。 所以我们得到一个关键不等式：

步骤 D：验证区间包含 节点 $y$ 的管辖范围左边界是 $L_y = y - \text{lowbit}(y) + 1$。 我们需要证明 $L_y \le p$。

由 $y = p + \text{lowbit}(p)$ 可得：

因为 $\text{lowbit}(y) \ge 2 \cdot \text{lowbit}(p)$ (即 $2^{k+1} \ge 2 \cdot 2^k$)， 所以 $\text{lowbit}(p) - \text{lowbit}(y)$ 一定是一个负数。

这意味着：

3. 直观理解（二进制进位）

用一个具体的例子最容易理解。设 $N=8$。

例子：更新位置 3 $p = 3$ (二进制 0011) $\text{lowbit}(3) = 1$ (0001)

找父节点： $y = 3 + 1 = 4$ (二进制 0100)

我们来看看这就发生了什么：

1. 节点 3 (0011) 的管辖长度是 lowbit(3) = 1。区间是 [3, 3]。
2. 加法进位：0011 + 0001 = 0100。末尾连续的 1 全部变成了 0，并在更高位产生了一个 1。
3. 节点 4 (0100) 的管辖长度是 lowbit(4) = 4。区间是 [1, 4]。
4. 显然 [1, 4] 包含 3。

再往上找： $p = 4$ (0100) $\text{lowbit}(4) = 4$ (0100) $y = 4 + 4 = 8$ (1000) 节点 8 的区间是 [1, 8]，显然包含节点 4 的区间 [1, 4]，也包含原始位置 3。

4. 总结

p + lowbit(p) 这个操作在数学上的意义是： 找到 $p$ 作为一个子区间，被合并进的那个更大的区间的右端点。

• lowbit(p)：代表当前节点 $p$ 管辖的区域长度。
• p + lowbit(p)：把这个长度加回去，利用二进制进位，找到了一个更高位的、且能覆盖当前区域的节点。

这就是为什么在 update 操作中，我们不断执行 p += lowbit(p) 就能遍历所有包含位置 $p$ 的节点（即树上的祖先）。

5. 下一步建议

既然你已经深入了解了 BIT 的数学原理，你是否需要我为你解释：

1. 如何利用这个性质实现 区间修改 + 区间查询 (需要两个 BIT)？
2. 或者对比一下 线段树 (Segment Tree)，在什么情况下 BIT 的这种父子关系会失效或不够用？

You Asked:

这个证明复杂了,有没有 简洁一点的证明

Gemini Responded:

当然，我们可以从 “补齐” (Completion) 的角度给出一个极简的直觉证明。

核心直觉：二进制进位 = 积木合并

想象 BIT 的结构就是搭积木。

• 节点 $p$ 代表一块长度为 lowbit(p) 的积木。
• 这块积木放置在数轴的 $[p - \text{lowbit}(p) + 1, \quad p]$ 位置。

证明逻辑如下：

1. 现状： $p$ 的二进制末尾是一个 1 后面跟着 $k$ 个 0（例如 ...0100）。 这意味着 $p$ 目前管辖着一段长度为 $2^k$ 的区间。

2. 目标： 我们要找 $p$ 的父亲。父亲必须是一个更大的区间，并且这个大区间要包含 $p$ 这个小区间。

3. 操作： 做加法 $p + \text{lowbit}(p)$。 这相当于在 $p$ 的基础上，再加一段同样长度为 $2^k$ 的积木。

4. 结果： 二进制发生进位：...0100 + ...0000 (lowbit) $\rightarrow$ ...1000。 末尾的 1 消失了，进位到了更高位。

   这意味两块长度为 $2^k$ 的小积木，合并成了一块长度为 $2^{k+1}$ 的大积木。 这块新的大积木的右边界就是 $p + \text{lowbit}(p)$，它自然包含了原来的 $p$。

一句话总结

$p + \text{lowbit}(p)$ 的本质，就是把 $p$ 当前代表的 $2^k$ 区间，填满补齐，进位成 $2^{k+1}$ 的大区间。

这个大区间（父亲）当然包含原来的小区间（儿子）。

You Asked:

是不是要证明$p + \text{lowbit}(p)$ 是第一个包含p的点呢?

Gemini Responded:

是的，你非常敏锐，这正是问题的关键！

证明“$y$ 包含 $p$”是不够的，因为爷爷节点也包含 $p$，祖先节点都包含 $p$。 要证明 $p + \text{lowbit}(p)$ 是树结构中的直接父亲（Parent），我们必须证明它是第一个（最小的）包含 $p$ 且下标大于 $p$ 的节点。

换句话说，我们要证明： 在 $p$ 和 $p + \text{lowbit}(p)$ 之间，不存在任何其他节点 $z$ 能够覆盖 $p$。

简洁直观的证明：为什么中间的节点都“手太短”？

我们用区间长度来思考。

1. 设定的场景

• 令 $next = p + \text{lowbit}(p)$。
• 假设有一个中间点 $z$，满足 $p < z < next$。

2. 关键推导：$z$ 的性质 因为 $z$ 比 $p$ 大，但还没大到 $p + \text{lowbit}(p)$，这说明 $z$ 是在 $p$ 的基础上加上了一个比 $\text{lowbit}(p)$ 更小的数。

• $p$ 的二进制末尾有 $k$ 个 0（因为 $\text{lowbit}(p) = 2^k$）。
• 既然 $z$ 只是增加了一个很小的量（$< 2^k$），那么 $z$ 的二进制变化必然发生在这些末尾的 0 里面。
• 结论：$z$ 的末尾 0 的数量一定比 $p$ 少。也就是说：
  $$\text{lowbit}(z) < \text{lowbit}(p)$$

3. 判定覆盖：$z$ 能否够得着 $p$？ 一个节点 $z$ 的管辖范围左边界是 $L_z = z - \text{lowbit}(z) + 1$。 如果 $z$ 要覆盖 $p$，必须满足 $L_z \le p$。

让我们来看看 $z$ 的左边界在哪里：

因为 $z > p$，我们可以把 $z$ 写成 $p + \delta$（其中 $\delta > 0$）：

回顾上面的结论：$\delta$ 是 $z$ 和 $p$ 的差值。由于 $z$ 是由 $p$ 的低位填充进来的，根据二进制性质，$\text{lowbit}(z)$ 其实就是 $\text{lowbit}(\delta)$（或者更小）。 在二进制加法中，增加的量 $\delta$ 和结果的 $\text{lowbit}(z)$ 满足：$\delta \ge \text{lowbit}(z)$。 (比如 $4 \to 6$，增加2，lowbit是2；$4 \to 7$，增加3，lowbit是1)

既然 $\delta \ge \text{lowbit}(z)$，那么：

4. 最终结论 因为 $L_z > p$，所以中间节点 $z$ 的管辖范围的左边界，在 $p$ 的右边。 中间的节点 $z$ 根本覆盖不到 $p$。

举个例子验证 (N=8)

设 $p = 4$ (0100)。 $\text{lowbit}(4) = 4$。 下一个目标是 $4+4=8$。

我们来看看中间的数 5, 6, 7 是否包含 4？

1. $z=5$ (0101):

   • $\text{lowbit}(5) = 1$。
   • 管辖区间：$[5, 5]$。
   • 左边界 5 > 4，不包含。

2. $z=6$ (0110):

   • $\text{lowbit}(6) = 2$。
   • 管辖区间：$[5, 6]$。
   • 左边界 5 > 4，不包含。

3. $z=7$ (0111):

   • $\text{lowbit}(7) = 1$。
   • 管辖区间：$[7, 7]$。
   • 左边界 7 > 4，不包含。

只有到了 8 (1000)：

• $\text{lowbit}(8) = 8$。
• 管辖区间 $[1, 8]$。
• 左边界 1 <= 4，包含！

总结

你说得对，证明不仅要是“包含”，还要是“紧邻”。 上面的推导证明了：在 $p$ 和 $p+\text{lowbit}(p)$ 之间的所有数，因为 lowbit 太小（手太短），都无法向左伸长去覆盖 $p$。 所以 $p+\text{lowbit}(p)$ 就是第一个能覆盖 $p$ 的节点（父亲）。

代码

        
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        const int maxn = 1e5+5;
using ll = long long;

template<typename T,int N=maxn>
struct Bit {
    T c[N+5]; // 树状数组, 1-based
    //Bit(){}
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;      } // lowbit
    inline int fa(int p)     { return p+lowbit(p); } // update a[p] 时, 下一个要更新的节点
    inline int left(int p)   { return p-lowbit(p); } // query a[1..p] 时, 下一个要求和的节点

    // 单点更新 a[p] += v
    void update(int p, T v){
        for( ; p <= N; p = fa(p) ) c[p] += v;
    }

    // 查询前缀和 a[1..p]
    T query(int p){ //前缀和
        T sum=0;
        for( ;p > 0 ; p = left(p)) sum+= c[p];
        return sum;
    }
};
Bit<ll> bit;

    

区间修改,单点查询

        
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        const int maxn = 1e5+5;
using ll = long long;

template<typename T,int N=maxn>
struct Bit {
    T c[N+5]; // 树状数组, 1-based
    //Bit(){}
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;      } // lowbit
    inline int fa(int p)     { return p+lowbit(p); } // update a[p] 时, 下一个要更新的节点
    inline int left(int p)   { return p-lowbit(p); } // query a[1..p] 时, 下一个要求和的节点

    // 单点更新 a[p] += v
    void update(int p, T v){
        for( ; p <= N; p = fa(p) ) c[p] += v;
    }


    // 查询前缀和 a[1..p]
    T query(int p){ //前缀和
        T sum=0;
        for( ;p > 0 ; p = left(p)) sum+= c[p];
        return sum;
    }

    // 区间和
    T query(int l, int r){ 
        return query(r) - query(l-1);
    }

    // 区间加法 a[l..r] += v
    void range_add(int l, int r, T v){
        update(l, v);
        update(r+1, -v);
    }

};
Bit<ll> bit;

    

树状数组应用分类详解

树状数组 (Binary Indexed Tree, BIT) 是一种精巧的数据结构，其本质是利用二进制的位运算特性，高效地维护序列的前缀信息。它能在对数时间内完成单点修改和前缀查询，是解决动态区间问题的利器。本文将树状数组的应用场景系统地分为四大类别。

一、基础操作：单点修改与区间查询

核心操作： update(i, val)、query(i)
典型模式： 维护一个动态序列，快速响应单点变化并查询区间累计值。

1.1 动态前缀和与区间和

这是树状数组最核心、最直接的应用。

• 动态前缀和：在 $O(\log n)$ 时间内修改序列中的单个元素，并查询任意位置的前缀和。
• 动态区间和：基于前缀和，通过 query(r) - query(l-1) 的方式，可以快速得到任意区间 [l, r] 的和。

经典实现：

        
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        // 单点增加 val
void update(int p, int val) {
    for (; p <= N; p += lowbit(p)) c[p] += val;
}

// 查询 [1, p] 的前缀和
int query(int p) {
    int sum = 0;
    for (; p > 0; p -= lowbit(p)) sum += c[p];
    return sum;
}

// 查询区间 [l, r] 的和
int range_query(int l, int r) {
    return query(r) - query(l - 1);
}

    

二、核心技巧：差分思想

核心思路： 将对原数组的区间操作，转化为对差分数组的单点操作。

2.1 区间修改与单点查询

通过维护原数组的差分数组，可以巧妙地处理区间修改问题。

• 区间修改 [l, r]：转化为对差分数组的两次单点修改：diff.update(l, val) 和 diff.update(r + 1, -val)。
• 单点查询 a[i]：原数组的 a[i] 等价于差分数组的前缀和 diff.query(i)。

经典实现：

        
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        // 差分树状数组
Bit diff_bit;

// 对原数组 [l, r] 区间增加 val
void range_add(int l, int r, int val) {
    diff_bit.update(l, val);
    diff_bit.update(r + 1, -val);
}

// 查询原数组 a[p] 的值
int point_query(int p) {
    return diff_bit.query(p);
}

    

三、进阶应用：值域统计

核心思路： 将树状数组建立在值的范围（值域）上，而非数组下标，用于统计频率和排名。

3.1 逆序对与排名查询

当处理的数据范围较大但数量不多时，通常需要先进行离散化。

• 逆序对统计：从后往前遍历序列，每遇到一个数 x，就将其加入值域树状数组，并查询在它之前已加入的、比 x 小的数的个数。
• 动态查询排名：统计动态序列中“小于等于 k 的数有多少个”这类问题。

四、高级拓展：升维与变形

核心思路： 将一维 BIT 的思想扩展到更高维度或更复杂的数据结构上。

4.1 二维树状数组

将一维 BIT 扩展到二维，用于维护矩阵信息。

• 单点修改 (x, y)：在两个维度上同时执行 += lowbit() 循环。
• 查询子矩阵和：利用二维前缀和的容斥原理进行查询。

4.2 树上树状数组

结合 DFS 序，将对树的操作转化为对序列的操作。

• 子树操作：一棵子树在 DFS 序上对应一个连续区间，对子树的修改和查询可直接转化为对该区间的操作。
• 路径操作：利用差分思想，将对 u 到 v 路径的操作，转化为对 u, v, lca(u,v), fa(lca(u,v)) 四个点的单点修改。

应用分类总览

练习建议

1. 入门模板： Luogu P3374 (单点修改, 区间查询)
2. 差分思想： Luogu P3368 (区间修改, 单点查询)
3. 值域应用： Luogu P1908 (逆序对)

掌握这四大分类，你就能灵活运用树状数组解决大部分相关的算法问题。

题目

• luogu-P1972 [SDOI2009] HH 的项链 tags: [树状数组,可持久化线段树,莫队]