树状数组

You Asked:

template<typename T,int N=maxn>
struct Bit {
    T c[N+5];
    //Bit(){}
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;      }
    inline int fa(int p)     { return p+lowbit(p); }
    inline int left(int p)   { return p-lowbit(p); }

    void update(int p, T v){
        for( ; p <= N; p = fa(p) ) c[p] += v;
    }

    T query(int p){ //前缀合
        T sum=0;
        for( ;p > 0 ; p = left(p)) sum+= c[p];
        return sum;
    }
};
Bit<ll> bit;

如何证明(数学), p+ lowbit(p) 就是父亲

Gemini Responded:

这是一个非常深刻且经典的问题。要理解为什么 p + lowbit(p) 是 p 的父亲（或者更准确地说是直接覆盖 p 的下一个区间节点），我们需要从二进制表示和树状数组（BIT）的区间定义两个角度来证明。

1. 核心定义：节点代表什么？

在树状数组中，每一个索引 t 不仅仅是一个下标，它代表一个区间。 对于任意节点 t，它维护的区间是：

[t−lowbit(t)+1,t][t - \text{lowbit}(t) + 1, \quad t]

更新操作（Update）的本质： 当我们更新位置 p 的值时，我们需要更新所有覆盖了位置 p 的节点。 也就是寻找所有满足以下条件的 yy：

  1. y≥py \ge p （父节点索引必然大于等于子节点）
  2. p∈[y−lowbit(y)+1,y]p \in [y - \text{lowbit}(y) + 1, \quad y] （区间包含关系）

2. 数学证明：为什么 p + lowbit(p) 覆盖了 p

我们要证明：如果令 y=p+lowbit(p)y = p + \text{lowbit}(p)，那么节点 yy 的区间一定包含 pp。

步骤 A：二进制表示 设 pp 的二进制表示中，最低位的 1 在第 kk 位（从0开始计数）。 那么 pp 可以写成：

p=A⋅2k+1+1⋅2kp = A \cdot 2^{k+1} + 1 \cdot 2^k
其中 AA 是比第 kk 位更高的部分。因为 kk 是最低位的 1，所以第 kk 位右边全为 0。 此时：
lowbit(p)=2k\text{lowbit}(p) = 2^k

步骤 B：执行加法 计算 y=p+lowbit(p)y = p + \text{lowbit}(p)：

y=(A⋅2k+1+2k)+2ky = (A \cdot 2^{k+1} + 2^k) + 2^k
y=A⋅2k+1+2⋅2ky = A \cdot 2^{k+1} + 2 \cdot 2^k
y=A⋅2k+1+2k+1y = A \cdot 2^{k+1} + 2^{k+1}
y=(A+1)⋅2k+1y = (A + 1) \cdot 2^{k+1}

步骤 C：分析 yy 的性质 观察 yy 的表达式 (A+1)⋅2k+1(A + 1) \cdot 2^{k+1}。这意味着 yy 的二进制末尾至少有 k+1k+1 个 0。 因此，yy 的最低位 1 的位置至少是 k+1k+1。 所以我们得到一个关键不等式：

lowbit(y)≥2k+1\text{lowbit}(y) \ge 2^{k+1}
而我们要记得 lowbit(p)=2k\text{lowbit}(p) = 2^k，所以：
lowbit(y)>lowbit(p)\text{lowbit}(y) > \text{lowbit}(p)

步骤 D：验证区间包含 节点 yy 的管辖范围左边界是 Ly=y−lowbit(y)+1L_y = y - \text{lowbit}(y) + 1。 我们需要证明 Ly≤pL_y \le p。

由 y=p+lowbit(p)y = p + \text{lowbit}(p) 可得：

y−lowbit(y)=p+lowbit(p)−lowbit(y)y - \text{lowbit}(y) = p + \text{lowbit}(p) - \text{lowbit}(y)

因为 lowbit(y)≥2⋅lowbit(p)\text{lowbit}(y) \ge 2 \cdot \text{lowbit}(p) (即 2k+1≥2⋅2k2^{k+1} \ge 2 \cdot 2^k)， 所以 lowbit(p)−lowbit(y)\text{lowbit}(p) - \text{lowbit}(y) 一定是一个负数。

这意味着：

y−lowbit(y)<py - \text{lowbit}(y) < p
所以：
y−lowbit(y)+1≤p≤yy - \text{lowbit}(y) + 1 \le p \le y
证毕。节点 yy 的区间确实覆盖了位置 pp。

3. 直观理解（二进制进位）

用一个具体的例子最容易理解。设 N=8N=8。

例子：更新位置 3 p=3p = 3 (二进制 0011) lowbit(3)=1\text{lowbit}(3) = 1 (0001)

找父节点： y=3+1=4y = 3 + 1 = 4 (二进制 0100)

我们来看看这就发生了什么：

  1. 节点 3 (0011) 的管辖长度是 lowbit(3) = 1。区间是 [3, 3]。
  2. 加法进位：0011 + 0001 = 0100。末尾连续的 1 全部变成了 0，并在更高位产生了一个 1。
  3. 节点 4 (0100) 的管辖长度是 lowbit(4) = 4。区间是 [1, 4]。
  4. 显然 [1, 4] 包含 3。

再往上找： p=4p = 4 (0100) lowbit(4)=4\text{lowbit}(4) = 4 (0100) y=4+4=8y = 4 + 4 = 8 (1000) 节点 8 的区间是 [1, 8]，显然包含节点 4 的区间 [1, 4]，也包含原始位置 3。

4. 总结

p + lowbit(p) 这个操作在数学上的意义是： 找到 pp 作为一个子区间，被合并进的那个更大的区间的右端点。

  • lowbit(p)：代表当前节点 pp 管辖的区域长度。
  • p + lowbit(p)：把这个长度加回去，利用二进制进位，找到了一个更高位的、且能覆盖当前区域的节点。

这就是为什么在 update 操作中，我们不断执行 p += lowbit(p) 就能遍历所有包含位置 pp 的节点（即树上的祖先）。

5. 下一步建议

既然你已经深入了解了 BIT 的数学原理，你是否需要我为你解释：

  1. 如何利用这个性质实现 区间修改 + 区间查询 (需要两个 BIT)？
  2. 或者对比一下 线段树 (Segment Tree)，在什么情况下 BIT 的这种父子关系会失效或不够用？

You Asked:

这个证明复杂了,有没有 简洁一点的证明

Gemini Responded:

当然，我们可以从 “补齐” (Completion) 的角度给出一个极简的直觉证明。

核心直觉：二进制进位 = 积木合并

想象 BIT 的结构就是搭积木。

  • 节点 pp 代表一块长度为 lowbit(p) 的积木。
  • 这块积木放置在数轴的 [p−lowbit(p)+1,p][p - \text{lowbit}(p) + 1, \quad p] 位置。

证明逻辑如下：

  1. 现状： pp 的二进制末尾是一个 1 后面跟着 kk 个 0（例如 ...0100）。 这意味着 pp 目前管辖着一段长度为 2k2^k 的区间。

  2. 目标： 我们要找 pp 的父亲。父亲必须是一个更大的区间，并且这个大区间要包含 pp 这个小区间。

  3. 操作： 做加法 p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p)。 这相当于在 pp 的基础上，再加一段同样长度为 2k2^k 的积木。

  4. 结果： 二进制发生进位：...0100 + ...0000 (lowbit) →\rightarrow ...1000。 末尾的 1 消失了，进位到了更高位。

    这意味两块长度为 2k2^k 的小积木，合并成了一块长度为 2k+12^{k+1} 的大积木。 这块新的大积木的右边界就是 p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p)，它自然包含了原来的 pp。

一句话总结

p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p) 的本质，就是把 pp 当前代表的 2k2^k 区间，填满补齐，进位成 2k+12^{k+1} 的大区间。

这个大区间（父亲）当然包含原来的小区间（儿子）。

You Asked:

是不是要证明p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p) 是第一个包含p的点呢?

Gemini Responded:

是的，你非常敏锐，这正是问题的关键！

证明“yy 包含 pp”是不够的，因为爷爷节点也包含 pp，祖先节点都包含 pp。 要证明 p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p) 是树结构中的直接父亲（Parent），我们必须证明它是第一个（最小的）包含 pp 且下标大于 pp 的节点。

换句话说，我们要证明： 在 pp 和 p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p) 之间，不存在任何其他节点 zz 能够覆盖 pp。

简洁直观的证明：为什么中间的节点都“手太短”？

我们用区间长度来思考。

1. 设定的场景

  • 令 next=p+lowbit(p)next = p + \text{lowbit}(p)。
  • 假设有一个中间点 zz，满足 p<z<nextp < z < next。

2. 关键推导：zz 的性质 因为 zz 比 pp 大，但还没大到 p+lowbit(p)p + \text{lowbit}(p)，这说明 zz 是在 pp 的基础上加上了一个比 lowbit(p)\text{lowbit}(p) 更小的数。

  • pp 的二进制末尾有 kk 个 0（因为 lowbit(p)=2k\text{lowbit}(p) = 2^k）。
  • 既然 zz 只是增加了一个很小的量（<2k< 2^k），那么 zz 的二进制变化必然发生在这些末尾的 0 里面。
  • 结论：zz 的末尾 0 的数量一定比 pp 少。也就是说：
    lowbit(z)<lowbit(p)\text{lowbit}(z) < \text{lowbit}(p)

3. 判定覆盖：zz 能否够得着 pp？ 一个节点 zz 的管辖范围左边界是 Lz=z−lowbit(z)+1L_z = z - \text{lowbit}(z) + 1。 如果 zz 要覆盖 pp，必须满足 Lz≤pL_z \le p。

让我们来看看 zz 的左边界在哪里：

Lz=z−lowbit(z)+1L_z = z - \text{lowbit}(z) + 1

因为 z>pz > p，我们可以把 zz 写成 p+δp + \delta（其中 δ>0\delta > 0）：

Lz=p+δ−lowbit(z)+1L_z = p + \delta - \text{lowbit}(z) + 1

回顾上面的结论：δ\delta 是 zz 和 pp 的差值。由于 zz 是由 pp 的低位填充进来的，根据二进制性质，lowbit(z)\text{lowbit}(z) 其实就是 lowbit(δ)\text{lowbit}(\delta)（或者更小）。 在二进制加法中，增加的量 δ\delta 和结果的 lowbit(z)\text{lowbit}(z) 满足：δ≥lowbit(z)\delta \ge \text{lowbit}(z)。 (比如 4→64 \to 6，增加2，lowbit是2；4→74 \to 7，增加3，lowbit是1)

既然 δ≥lowbit(z)\delta \ge \text{lowbit}(z)，那么：

Lz=p+(δ−lowbit(z))+1L_z = p + (\delta - \text{lowbit}(z)) + 1
Lz≥p+0+1L_z \ge p + 0 + 1
Lz>pL_z > p

4. 最终结论 因为 Lz>pL_z > p，所以中间节点 zz 的管辖范围的左边界，在 pp 的右边。 中间的节点 zz 根本覆盖不到 pp。

举个例子验证 (N=8)

设 p=4p = 4 (0100)。 lowbit(4)=4\text{lowbit}(4) = 4。 下一个目标是 4+4=84+4=8。

我们来看看中间的数 5, 6, 7 是否包含 4？

  1. z=5z=5 (0101):

    • lowbit(5)=1\text{lowbit}(5) = 1。
    • 管辖区间：[5,5][5, 5]。
    • 左边界 5 > 4，不包含。

  2. z=6z=6 (0110):

    • lowbit(6)=2\text{lowbit}(6) = 2。
    • 管辖区间：[5,6][5, 6]。
    • 左边界 5 > 4，不包含。

  3. z=7z=7 (0111):

    • lowbit(7)=1\text{lowbit}(7) = 1。
    • 管辖区间：[7,7][7, 7]。
    • 左边界 7 > 4，不包含。

只有到了 8 (1000)：

  • lowbit(8)=8\text{lowbit}(8) = 8。
  • 管辖区间 [1,8][1, 8]。
  • 左边界 1 <= 4，包含！

总结

你说得对，证明不仅要是“包含”，还要是“紧邻”。 上面的推导证明了：在 pp 和 p+lowbit(p)p+\text{lowbit}(p) 之间的所有数，因为 lowbit 太小（手太短），都无法向左伸长去覆盖 pp。 所以 p+lowbit(p)p+\text{lowbit}(p) 就是第一个能覆盖 pp 的节点（父亲）。

代码

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        const int maxn = 1e5+5;
using ll = long long;

template<typename T,int N=maxn>
struct Bit {
    T c[N+5]; // 树状数组, 1-based
    //Bit(){}
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;      } // lowbit
    inline int fa(int p)     { return p+lowbit(p); } // update a[p] 时, 下一个要更新的节点
    inline int left(int p)   { return p-lowbit(p); } // query a[1..p] 时, 下一个要求和的节点

    // 单点更新 a[p] += v
    void update(int p, T v){
        for( ; p <= N; p = fa(p) ) c[p] += v;
    }

    // 查询前缀和 a[1..p]
    T query(int p){ //前缀和
        T sum=0;
        for( ;p > 0 ; p = left(p)) sum+= c[p];
        return sum;
    }
};
Bit<ll> bit;

区间修改,单点查询

一句话算法

就是差分数组做BIT

区间修改,单点查询,在差分数组上就是单点修改,区间查询

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        const int maxn = 1e5+5;
using ll = long long;

template<typename T,int N=maxn>
struct Bit {
    T c[N+5]; // 树状数组, 1-based
    //Bit(){}
    inline int lowbit(int x) { return x & -x;      } // lowbit
    inline int fa(int p)     { return p+lowbit(p); } // update a[p] 时, 下一个要更新的节点
    inline int left(int p)   { return p-lowbit(p); } // query a[1..p] 时, 下一个要求和的节点

    // 单点更新 a[p] += v
    void update(int p, T v){
        for( ; p <= N; p = fa(p) ) c[p] += v;
    }


    // 查询前缀和 a[1..p]
    T query(int p){ //前缀和
        T sum=0;
        for( ;p > 0 ; p = left(p)) sum+= c[p];
        return sum;
    }

    // 区间和
    T query(int l, int r){ 
        return query(r) - query(l-1);
    }

    // 区间加法 a[l..r] += v
    void range_add(int l, int r, T v){
        update(l, v);
        update(r+1, -v);
    }

};
Bit<ll> bit;

题目

luogu-P1972 [SDOI2009] HH 的项链 tags: [树状数组,可持久化线段树,莫队]