欧拉路与欧拉回路（Eulerian Path & Circuit）

摘要 (Abstract)

简要介绍欧拉路（Eulerian Path）与欧拉回路（Eulerian Circuit）的定义、存在性判定以及构造方法。本文以通俗的直觉和严格的判定条件为主线，介绍常用的线性时间构造算法——Hierholzer 算法，并给出完整的可运行 C++ 竞赛风格实现、复杂度分析与测试用例。

背景与动机 (Motivation)

欧拉路问题是图论的经典问题，起源于柯尼斯堡七桥问题。实际应用包括邮递员路线、路网巡检、网络封包路径规划、拼接 DNA 片段（重叠图）等。在算法竞赛中，欧拉路/回路是基本题型，也是许多变体（带权、限制出入度、多重边、有向/无向混合）的基础。

问题定义 (Problem Definition)

  • 欧拉路：一条在图中经过每条边恰好一次的路径（可以重复经过顶点）。
  • 欧拉回路：一条在图中经过每条边恰好一次且起点=终点的回路。

我们讨论两类图的判定与构造：无向图与有向图。

一句话算法

  • 无向图：如果图是连通（忽略孤立顶点）且顶点度为奇数的顶点数量为 00 或 22，用 Hierholzer 算法从合适顶点出发即可构造欧拉路/回路。
  • 有向图：若弱连通且满足入度与出度的特定差值（回路：每点入度=出度；路径：一个顶点出度=in度+1，一个顶点入度=出度+1，其余相等），则可用带方向的 Hierholzer 算法构造。

关键思路 (Key Idea)

Hierholzer 算法的核心是贪心局部闭合并拼接：

  1. 从某个起点沿尚未访问的边不断前进，直到回到一个已访问顶点，形成一个环（或路径停止在无法前进的顶点）。
  2. 若还有未访问的边，则在当前已构造路径中找一个仍有未访问边的顶点，从该顶点再做同样的闭合，最后把新环插入到已有路径中。
  3. 反复直到所有边被访问。该过程保证每条边只被访问一次，时间线性。

下面用图示说明（无向示例）：

graph LR
  A --> B
  B --> C
  C --> D
  D --> B
  B --> E
  E --> D

开始于 A: A-B-C-D-B-E-D，局部闭合后拼接得到完整欧拉路径（示意）。

欧拉路和欧拉回路的存在性判定

无向图

定义顶点 vv 的度为 d(v)d(v)。必要且充分条件：

  1. 图的所有有边的顶点在同一连通分量（即忽略度为 0 的顶点后，图是连通的）。
  2. 奇数度顶点的数目为 00（存在欧拉回路）或 22（存在欧拉路，但不是回路）。

证明要点：若存在欧拉回路，则每次进入某顶点也必然离开，故每个顶点度为偶数。对于欧拉路，起点与终点为奇度，其余顶点度为偶数。反向构造使用 Hierholzer 算法可构造出满足条件的路径。

可以用以下等式判断边数与度的关系：

∑vd(v)=2∣E∣.\sum_{v} d(v) = 2|E|.
因此奇数度顶点的数目为偶数。

有向图

定义顶点 vv 的入度为 in(v)in(v)，出度为 out(v)out(v)。必要且充分条件（弱连通，忽略入出度都为 0 的顶点）：

  • 欧拉回路（有向）：对所有顶点有 in(v)=out(v)in(v)=out(v)，且所有有边的顶点在同一弱连通分量（将有向边视为无向边检查连通性）。
  • 欧拉路（有向）：存在一个起点 ss 和终点 tt，满足
    • out(s)=in(s)+1out(s)=in(s)+1,
    • in(t)=out(t)+1in(t)=out(t)+1,
    • 对其他顶点 vv，in(v)=out(v)in(v)=out(v)， 且所有有边的顶点在同一弱连通分量。

直观：每次中间顶点进入次数等于离开次数；起点比终点多一次离开，终点比起点多一次进入。

算法步骤 (Algorithm Steps)

下面给出无向与有向图的 Hierholzer 实现伪代码：

无向图（伪代码）：

  1. 检查连通性（忽略度为 0 的顶点），统计奇度顶点数。
  2. 若不满足存在性条件则无解。
  3. 选择起点：若有 2 个奇度顶点，则从其中一个奇度顶点出发；否则，从任意有边的顶点出发。
  4. 用栈模拟深度优先遍历：
    • 当当前顶点 u 有未用的边时，记录该边为已用，压入 v，然后继续；
    • 否则将 u 弹出并加入答案路径（逆序构造）。
  5. 最终得到的路径即为欧拉路（或回路）。

有向图只在边方向与度检查上不同，其他步骤相同。

算法证明 (Proof Sketch)

Hierholzer 算法在每一步都沿尚未访问的边前进，最终当无法继续时回溯并把顶点加入答案。因为每条边被恰好标记一次为已用，算法线性遍历边数。局部环插入不会破坏已访问边的唯一性，且在存在性条件下最终能覆盖所有边，得到一条使用每条边一次的路径。

更正式地：每次插入的是一个闭合环或延伸段，环的拼接操作维持路径的连续性与边唯一使用性。存在性条件保证算法不会在中途陷入无法覆盖剩余边的情况。

复杂度分析 (Complexity Analysis)

  • 时间复杂度：每条边最多被访问两次（查找和标记），常见实现为 O(∣E∣+∣V∣)O(|E|+|V|)。
  • 空间复杂度：需要储存邻接表和标记边，通常为 O(∣E∣+∣V∣)O(|E|+|V|)。

代码实现 (Code Implementation)

下面提供一份面向竞赛的 C++ 完整实现，支持无向图与有向图两种模式，带有详细注释与低心智负担的风格。

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        // Eulerian path/circuit using Hierholzer's algorithm
// 支持：无向图（isDirected=false）与有向图（isDirected=true）
// 输入格式：
// n m isDirected
// 随后 m 行，每行 u v（无向时视为双向边；有向时为 u->v）
// 输出：若存在欧拉路或回路，打印顶点序列（1-based），否则打印 "NO"。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Edge { int to; int id; };

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m; bool isDirected;
    if (!(cin >> n >> m >> isDirected)) return 0;

    vector<vector<Edge>> g(n+1);
    vector<int> deg(n+1, 0);         // 无向：度；有向：出度
    vector<int> indeg(n+1, 0);      // 仅有向需要

    // 为了支持多重边，给每条边一个唯一 id；无向图两端共用同一个 id
    int eid = 0;
    vector<pair<int,int>> edges(m+5);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        ++eid;
        edges[eid] = {u, v};
        if (!isDirected) {
            g[u].push_back({v, eid});
            g[v].push_back({u, eid});
            deg[u]++; deg[v]++;
        } else {
            g[u].push_back({v, eid});
            deg[u]++; indeg[v]++;
        }
    }

    // 连通性检查（忽略无边的顶点）
    vector<char> vis(n+1, 0);
    int start = -1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if ((isDirected ? deg[i] + indeg[i] : deg[i]) > 0) { start = i; break; }
    if (start == -1) {
        // 没有边，空图可以视为有欧拉回路（空路径）
        cout << "\n";
        return 0;
    }
    // BFS/DFS 在无向情形或有向情形均用弱连通（把边当无向）
    {
        stack<int> st; st.push(start); vis[start] = 1;
        while (!st.empty()) {
            int u = st.top(); st.pop();
            for (auto &e: g[u]) {
                int v = e.to;
                if (!vis[v]) { vis[v] = 1; st.push(v); }
            }
            if (isDirected) {
                // 还要检查反向边（通过 edges 列表）
                // 对于弱连通，只需访问所有与 u 相邻的顶点（入边的起点）
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if ((isDirected ? deg[i] + indeg[i] : deg[i]) > 0 && !vis[i]) {
                cout << "NO\n";
                return 0;
            }
        }
    }

    // 度条件检查
    if (!isDirected) {
        int odd = 0;
        int s = start;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] % 2) { ++odd; s = i; }
        if (!(odd == 0 || odd == 2)) { cout << "NO\n"; return 0; }
        // Hierholzer: 非递归栈实现
        vector<char> used(eid+1, 0);
        vector<int> stk, path;
        stk.push_back(s);
        vector<int> it(n+1, 0);
        while (!stk.empty()) {
            int v = stk.back();
            while (it[v] < (int)g[v].size() && used[g[v][it[v]].id]) ++it[v];
            if (it[v] == (int)g[v].size()) {
                path.push_back(v);
                stk.pop_back();
            } else {
                auto e = g[v][it[v]++];
                used[e.id] = 1;
                stk.push_back(e.to);
            }
        }
        if ((int)path.size() != m+1) { cout << "NO\n"; return 0; }
        // path 是逆序
        for (int i = path.size()-1; i >= 0; --i) {
            if (i != (int)path.size()-1) cout << ' ';
            cout << path[i];
        }
        cout << '\n';
    } else {
        // 有向图
        int startCandidate = -1, endCandidate = -1;
        bool ok = true;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (out_degree(i)??) {}
        }
        // 由于在此文件中我们没有定义 out_degree 函数，上面为占位。
        // 下面给出完整且可直接编译的有向版本实现。
    }

    return 0;
}

注：上面是无向图实现框架。其中有向图实现在竞赛模板中通常分开写，为保持心智负担低，下面提供两段完整可编译的 C++ 文件：一个只做无向，一个只做有向。

可编译版 1：无向图（完整）

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        #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge { int to; int id; };
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m; bool isDirected = false;
    if (!(cin >> n >> m)) return 0;
    vector<vector<Edge>> g(n+1);
    vector<int> deg(n+1, 0);
    int eid = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v; ++eid;
        g[u].push_back({v, eid});
        g[v].push_back({u, eid});
        deg[u]++; deg[v]++;
    }
    int start = -1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] > 0) { start = i; break; }
    if (start == -1) { cout << "\n"; return 0; }
    vector<char> vis(n+1, 0);
    stack<int> st; st.push(start); vis[start] = 1;
    while (!st.empty()) {
        int u = st.top(); st.pop();
        for (auto &e: g[u]) if (!vis[e.to]) { vis[e.to] = 1; st.push(e.to); }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] > 0 && !vis[i]) { cout << "NO\n"; return 0; }
    int odd = 0; int s = start;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] % 2) { ++odd; s = i; }
    if (!(odd == 0 || odd == 2)) { cout << "NO\n"; return 0; }

    vector<char> used(eid+1, 0);
    vector<int> it(n+1, 0), stk, path;
    stk.push_back(s);
    while (!stk.empty()) {
        int v = stk.back();
        while (it[v] < (int)g[v].size() && used[g[v][it[v]].id]) ++it[v];
        if (it[v] == (int)g[v].size()) { path.push_back(v); stk.pop_back(); }
        else { auto e = g[v][it[v]++]; used[e.id] = 1; stk.push_back(e.to); }
    }
    if ((int)path.size() != m+1) { cout << "NO\n"; return 0; }
    for (int i = path.size()-1; i >= 0; --i) {
        if (i != (int)path.size()-1) cout << ' ';
        cout << path[i];
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}

可编译版 2：有向图（完整）

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        #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge { int to; int id; };
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m; if (!(cin >> n >> m)) return 0;
    vector<vector<Edge>> g(n+1);
    vector<int> outdeg(n+1,0), indeg(n+1,0);
    int eid = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v; ++eid;
        g[u].push_back({v, eid});
        outdeg[u]++; indeg[v]++;
    }
    int start = -1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (outdeg[i] + indeg[i] > 0) { start = i; break; }
    if (start == -1) { cout << "\n"; return 0; }
    vector<char> vis(n+1, 0);
    stack<int> st; st.push(start); vis[start] = 1;
    while (!st.empty()) {
        int u = st.top(); st.pop();
        for (auto &e: g[u]) if (!vis[e.to]) { vis[e.to] = 1; st.push(e.to); }
        // 访问入边的起点需要额外图，下面采用弱连通性检查的简化方法：
    }
    // 简化弱连通检查：构建无向邻接用于连通检测
    vector<vector<int>> ug(n+1);
    for (int u = 1; u <= n; ++u) for (auto &e: g[u]) { ug[u].push_back(e.to); ug[e.to].push_back(u); }
    fill(vis.begin(), vis.end(), 0);
    st.push(start); vis[start] = 1;
    while (!st.empty()) { int u = st.top(); st.pop(); for (int v: ug[u]) if (!vis[v]) { vis[v]=1; st.push(v); } }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (outdeg[i]+indeg[i] > 0 && !vis[i]) { cout << "NO\n"; return 0; }

    int cntStart=0, cntEnd=0; int s = start;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (outdeg[i] == indeg[i]+1) { ++cntStart; s = i; }
        else if (indeg[i] == outdeg[i]+1) ++cntEnd;
        else if (indeg[i] != outdeg[i]) { cout << "NO\n"; return 0; }
    }
    if (!((cntStart==1 && cntEnd==1) || (cntStart==0 && cntEnd==0))) { cout << "NO\n"; return 0; }

    vector<char> used(eid+1, 0);
    vector<int> it(n+1,0), stk2, path;
    stk2.push_back(s);
    while (!stk2.empty()) {
        int v = stk2.back();
        while (it[v] < (int)g[v].size() && used[g[v][it[v]].id]) ++it[v];
        if (it[v] == (int)g[v].size()) { path.push_back(v); stk2.pop_back(); }
        else { auto e = g[v][it[v]++]; used[e.id] = 1; stk2.push_back(e.to); }
    }
    if ((int)path.size() != m+1) { cout << "NO\n"; return 0; }
    for (int i = path.size()-1; i >= 0; --i) {
        if (i != (int)path.size()-1) cout << ' ';
        cout << path[i];
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}

测试用例 (Test Case)

  1. 无向图示例： 输入（第一行 n m）：
5 5
1 2
2 3
3 4
4 2
3 5

该图的边集与前文 mermaid 示例一致。运行无向版程序，输出示例可能为：

1 2 3 4 2 3 5

（注意欧拉路径并非唯一）

  1. 有向图示例： 输入：
5 6
1 2
2 3
3 1
3 4
4 5
5 3

输出示例（一个欧拉回路）：

1 2 3 1  ... (具体顺序取决于实现)

手工验证：确保输出顶点数为 m+1m+1 并且每条边恰好被使用一次。

经典例题 (Classic Problems)

提供 3 道经典练习题与解题思路：

  1. 邮差问题（Chinese Postman Problem，变体）——在无向图上寻找最短闭合路径经过所有边至少一次：这是带权最短增补欧拉回路问题，需要最小匹配最短奇度顶点对。

  2. UVA / SPOJ 上的有向欧拉路径题（多重边）——注意在输入中可能出现自环和多重边，使用边 id 标记可以正确处理。

  3. 拼接 DNA（重叠图构造欧拉路）——将 k-mer 构造成有向 De Bruijn 图，寻找欧拉路重构原序列。关键是构造有向图并检查入度/出度条件与弱连通性。

每题的关键思想均基于本文的判定条件与 Hierholzer 构造。

实践思考与扩展 (Further Thinking & Extension)

  • 带权欧拉路径、最短覆盖每条边至少一次的问题属于更复杂的优化问题（如中国邮差问题）。
  • 当图不满足欧拉条件时，可通过复制一些边使其满足条件，从而得到带最小开销的巡回路线。
  • 在有向图中，弱连通性检查是必须的；若需强连通性判断（某些变体）应使用 Kosaraju/Tarjan 分量算法。

字典序最小的 Eulerian Path

  • 将邻接表中的边按顶点编号排序，然后在 Hierholzer 算法中每次选择最小的未访问边即可。

Hierholzer 算法的特点 : 先走到死胡同，再回溯，所以最后得到的路径是逆序的(也就是在桟上)。

显然如果你先在 Hierholzer 算法中走 最小的边, 那么根据 dfs 回溯的性质,这条边一定会在最后被加入答案, 所以答案一定是字典序最小的。

实现步骤

(针对字典序最小优化)为了实现字典序最小，

我们需要在 Hierholzer 算法的基础上增加一个预处理步骤。

  • 步骤一： 预处理 (排序)在建图完成后，对每个节点的邻接表进行排序。确保当你访问节点 UU 时，它的出边列表是按从小到大排列的。技巧：为了在 C++ vector 中高效地（O(1)）取出最小元素，我们可以先升序排序，然后 reverse 整个 vector。这样最小值就在末尾，可以使用 pop_back() 取出。
  • 步骤二： 确定起点根据第 2 节的度数检查条件，找到唯一的起点。如果是欧拉回路，找编号最小的有出度的点。
  • 步骤三：Hierholzer DFS (后序入栈)

题目