数论小题目

📝 数学小结论：连续整数之和的模运算

【命题】 设 $S$ 为任意 $p$ 个连续整数之和，即 $S = (n+1) + (n+2) + \dots + (n+p)$。 求 $S$ 除以 $p$ 的余数（即 $S \pmod p$）。

【规律总结】

1. 当 $p$ 为奇数时： 余数恒为 $0$ （即 $S$ 能被 $p$ 整除）。
2. 当 $p$ 为偶数时： 余数恒为 $\frac{p}{2}$。

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🎯 速记小题目 (Example)

题目： 不计算具体数值，直接写出下列两个算式的余数：

1. 任意 99 个连续整数之和，除以 99 的余数是多少？
2. 任意 100 个连续整数之和，除以 100 的余数是多少？

答案：

1. 因为 99 是奇数，余数为 0。
2. 因为 100 是偶数，余数为 $100 \div 2 =$ 50。

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这样记录既包含了核心逻辑，又有具体的数字案例帮助回忆