补充-约数相关

一些公式

设一个整数$A= p_1^{e_1}$* $p_2^{e_2}$* $p_3^{e_3}$* $\ldots$* $p_n^{e_n}$

则有：

A的约数的个数

$$A=(1+\mathrm{e}_1)*(1+\mathrm{e}_2)*(1+\mathrm{e}_3)*\ldots*(1+\mathrm{e}_{\mathrm{n}})$$

A的约数的总和

$$\begin{aligned} A =& \quad (1+\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_1^2+\mathrm{p}_1^3+\ldots+\mathrm{p}_1^{\mathrm{e}_1}) \\ &\times (1+\mathrm{p}_2+\mathrm{p}_2^2+\mathrm{p}_2^3+\ldots+\mathrm{p}_2^{\mathrm{e}_2}) \\ &\times \ldots \\ & \times (1+\mathrm{p}_n+ \mathrm{p} _\mathrm{n} ^2+ \mathrm{p} _\mathrm{n} ^3+ \ldots + \mathrm{p}^{\mathrm{e}_n}) \end{aligned}$$

举例说明白：

$180=2^2*3^2*5$

个数$=(1+2)*(1+2)*(1+1)=18$

总和$=(1+2+4)*(1+3+9)*(1+5)=546$

约数

简单来说，约数和公式是由 “每个质因数的不同次幂之和”相乘 得到的。

下面我通过三个步骤来带你推导这个公式：

第一步：回顾质因数分解与约数的构成

假设一个整数 进行了质因数分解：

我们知道， 的任意一个约数 ，都可以写成如下形式：

其中，指数 的取值范围是 。

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第二步：利用乘法分配律（核心步骤）

为了把所有的约数加起来，我们可以构造这样一个算式：

请注意，这里的每一个括号里，都是某个质因数从0次幂（也就是1）一直加到它的最高次幂。

为什么要这样乘？

让我们回忆一下代数里的多项式乘法（分配律）。当你把这些括号展开相乘时，你会从每一个括号里各取一项相乘，得到一个新的项。

比如，如果有两个质因数 ，公式就是：

当你展开它时，你会得到类似这样的项：

• （这是最小的约数 1）
• （这是最大的约数 A本身）
• …

结论： 展开后的每一项，刚好对应了 的每一个约数。 而且，由于每个括号里的选项覆盖了所有可能的指数情况，展开后的结果不多不少，刚好包含了所有的约数各一次。

所以，这几个括号相乘的结果，就是所有约数的和。

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第三步：举个简单的例子验证

为了直观理解，我们不用图中的180，用一个更小的数字：12。

1. 手动列举约数求和： 12的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12。 和 = 。

2. 使用公式求和： 根据公式，我们把 的部分和 的部分分别列出来相乘：

• 的部分（最高2次幂）：
• 的部分（最高1次幂）：

两部分相乘：

结果完全一致！

总结

• 约数个数公式是在做选择题：对于质因数 ，我有 到 共 种选法，乘起来就是总组合数。
• 约数和公式是在做填空题并求和：把每个质因数所有可能的取值加起来，然后利用乘法分配律，一次性算出了所有组合（约数）的总和。

图中的公式：

正是基于这个原理得到的。