[省选联考 2020 B 卷] 丁香之路

标签: #todo #欧拉路 #最小生成树 #中国邮递员问题 #贪心
原题目: luogu-P6628
简要描述: 神奇的省选题目,我现在也不能理解这个证明的正确性

TODO: 理解题目,理解证明

样例图解

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题目解析

如果你看到一个大神在赛场上秒切了这道题，不是因为他现场推导出了欧拉路的性质，也不是因为他天赋异禀现场发明了 MST。

真相是：他的大脑里存了几百个“模型”，这道题对他来说，只是把“模型 A”和“模型 B”拼在了一起。

对于这道题，高手的思维路径是这样的（全是条件反射）：

  1. 看到“必经每条边至少一次” →\rightarrow 条件反射：这是“中国邮递员问题”的变种，核心是欧拉回路。
  2. 看到“可以重复经过” →\rightarrow 条件反射：重复经过 = 加边。
  3. 看到“欧拉回路不存在” →\rightarrow 条件反射：欧拉回路两大铁律是连通和度数。我要去修补这两个条件。
  4. 看到“数轴/线性结构” →\rightarrow 条件反射：线性的连通性通常和相邻节点有关。

你之所以觉得是“从头推导”，是因为你的“工具箱”里还没有存放这些“条件反射”的触发器。

思考1

我无法理解这个题目是如何从原始的题面上转移思考到 : 构造最小权值的欧拉路径, 我发现:

  1. 必经路是可以重复走的, 这和欧拉路 每条边 只能走一次,不是冲突吗?

PS: 因为这儿题目是 中国邮递员问题的变种: 参考 【刘田 集合论与图论】第30讲 中国邮递员问题、货郎问题_哔哩哔哩_bilibili 所有你可以先看, 中国邮递员问题 是如何 转换成的 欧拉路问题的 然后就涉及到欧拉路充要条件: 1. 度 2. 连通

这是一个非常棒的、直击本质的疑问！

你说得很对：单纯的“欧拉路径”定义确实是每条边“恰好经过一次”。

而题目要求的是：必经边“至少经过一次”。

这看起来是矛盾的，但通过图论建模的视角，它们在本质上是统一的。我们来一步步拆解这个思维跃迁的过程。

1. 核心转换思维：“走两遍” 等价于 “加一条边”

在图论中，如果我们在一张图上行走，如果你需要重复经过某条边 u↔vu \leftrightarrow v，在数学模型上，这等价于：

在 uu 和 vv 之间，新增加了一条边（重边）。

  • 物理动作：你从 uu 走到 vv（第1次），后来又从 vv 走到 uu（第2次）。
  • 数学模型：图中存在两条边，一条是 (u,v)1(u, v)_1，另一条是 (u,v)2(u, v)_2。你的路径是先走 (u,v)1(u, v)_1，后走 (u,v)2(u, v)_2。

结论：

题目说的“必经路可以重复走”，转化到构造模型上，就是：我们可以向图中任意添加边（虚边），只要付出对应的代价 ∣u−v∣|u-v|。

于是问题变成了：

在原有的 mm 条必经边的基础上，添加最少权值的额外边，使得这个新图（原边+加边） 存在一条欧拉路径（一笔画）。

只要新图存在欧拉路径，我们沿着这条路径走，就自然满足了：

  1. 所有必经边都走到了（因为它们在图里）。
  2. 额外加的边也走到了（这代表我们在路上为了连通或赶路而走的路）。
  3. 每条边（无论是必经的还是新加的）都“恰好”被走了一次。

2. 为什么一定是构造“欧拉路径”？

我们想求从 SS 出发到 TT 结束的最短路径，且必须经过某些边。这其实就是一笔画问题的变种。

试想，你把所有必须走的边画在纸上。现在你的笔在 SS 点。

你的任务是：必须画过所有黑色的线（必经边），笔不能离开纸面，最后停在 TT 点。为了做到这一点，你可以在纸上画一些红色的线（额外边/重复路）来连接断开的部分或跳跃位置。

为了让笔画不中断且总长度最短，最终画出来的图形（黑色+红色）必须满足一笔画（欧拉路径）的充要条件：

  1. 连通性：所有线条必须连在一起，不能有孤岛。（如果不连通，笔就必须提起来，飞过去，这在题目里意味着要走一段路过去，也就是加边）。
  2. 度数（奇偶性）：
    • 起点 SS 和 终点 TT 必须是“进出不平衡”的（度数为奇数）。
    • 中间所有点必须是“有进必有出”的（度数为偶数）。

所以，题目的解法就顺理成章地变成了：

如何用最小的代价（加边），把一个原本支离破碎、度数乱七八糟的图，修补成一个连通的、度数符合要求的欧拉图。

3. 解析“重复走”在算法中的体现

在我们的代码逻辑（以及木xx木大的解析）中，有两个步骤体现了“重复走/加边”的逻辑：

第一步：修正奇偶性（Greedy）

当我们连接两个奇度点 u,vu, v 时，我们添加了一条边 (u,v)(u, v)。

  • 物理意义：我们需要从 uu 走到 vv（或者反过来），这一段路是额外走的。
  • 对必经边的影响：这段路可能覆盖了某些必经边，也可能是一条全新的空路。但在欧拉图模型里，它就是一条新边。

第二步：修正连通性（MST）

当我们发现两个连通块不连通时，我们添加了一条边，且权值乘了 2。

  • 物理意义：我们需要从一个团走到另一个团，办完事还得回来（因为要保持度数偶数性质不变）。
  • 这就是“重复走”的极致体现：比如为了去连通远方的一个必经边，我必须走过去，再走回来。这在图中等价于加了两条重边（或者说一条往返边）。

4. 总结：思维导图

  1. 原始需求：走完必经边，可以重复，求最短路。

    ↓\downarrow

  2. 建模转化：“重复走” = “加新边”。

    ↓\downarrow

  3. 目标重塑：构建一个包含“必经边”和“新边”的新图。

    ↓\downarrow

  4. 约束条件：为了能一气呵成走完（一笔画），新图必须满足欧拉路径条件（连通 + 奇偶）。

    ↓\downarrow

  5. 算法落地：

    • 先补奇偶（成本最低，因为只加1条边）。
    • 再补连通（成本稍高，因为要往返，加2条边）。

一句话点醒梦中人：

欧拉路径要求每条边只走一次，是指最终构造出来的那个完美图里的每条边只走一次。而那个“完美图”里，包含了必经边（走一次）和我们额外添加的边（走一次，代表现实中的重复路或赶路）。

疑问

贪心算法原本的逻辑跑完，我们得到的是一个闭环（欧拉回路），而不是一条从 SS 到 II 的路径。

  1. 为什么一定求 欧拉路 ,欧拉回路 不可以吗? 2. 如果原来 的必走边,已经形成的欧拉回路, 然后添加 s ->i 的虚拟边, 变成奇数的度, 然后 贪心算法,就会添加一下边, 这样不久产生 额外的花费了吗?
  2. 如果 s 与 i 是同一个点, 那不就是欧拉回路吗? 那么添加 虚拟的 s->i 的边 ,还正确吗

关于 S,IS, I 虚拟增加度数的三个核心疑问证明

1. 为何必须求欧拉路径（非回路）？

  • 约束：题目要求起点为 SS，终点为 ii。
  • 证明：若 S≠iS \neq i，欧拉回路性质决定必须回到起点 SS，无法停在 ii。仅当 S,iS, i 度数为奇，其余为偶（欧拉路径条件）时，才能保证一笔画路径终于 ii。

2. 原图若已连通，虚拟边导致的加边是否为“冤枉钱”？

  • 否，这是必要代价。
  • 证明：若原必经边构成回路（S→⋯→SS \to \dots \to S），任务却要求停在 ii。虚拟操作 deg[S]++, deg[i]++ 制造了奇点，迫使贪心算法添加一条实边 (S,i)(S, i)。
  • 物理意义：代表在走完回路回到 SS 后，必须再走最短路到达终点 ii。该花费是满足边界条件的最小必要开销。

3. 若 S=iS=i，虚拟加边逻辑是否崩塌？

  • 否，逻辑自洽。
  • 证明：操作等价于 deg[S] += 2。根据同余性质 x+2≡x(mod2)x + 2 \equiv x \pmod 2，度数奇偶性不变。
  • 结论：算法对此情况会完全忽略（或保持原有的配对逻辑），自动兼容欧拉回路求解，无需特判。

代码

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        /**
 * [题解] P6628 丁香之路
 * 基于严谨的“奇偶性修正 -> 连通性修正”两步法
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 2505;

// MST 的边结构体
struct Edge {
    int u, v, w;
    bool operator<(const Edge &other) const {
        return w < other.w;
    }
};

int n, m, s;
int deg[MAXN];       // 初始度数
int fa[MAXN];        // 并查集数组
int block_id[MAXN];  // 记录只包含必经边的初始连通块ID
ll base_weight = 0;  // 必经边的基础权值和

// 并查集查找
int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

// 并查集合并
void unite(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    if (fx != fy) fa[fx] = fy;
}

void init() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i;

    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        base_weight += abs(u - v);
        deg[u]++;
        deg[v]++;
        unite(u, v); // 初始必经边合并
    }

    // 保存初始的连通状态，避免每次循环都重新跑m条边的合并
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        block_id[i] = find(i);
    }
}

void solve() {
    // 枚举每一个点作为终点 i
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        // --- 0. 状态重置 ---
        // 每次计算基于 block_id 重建并查集
        for (int k = 1; k <= n; ++k) fa[k] = k; // 这里 fa 维护的是 block_id 之间的关系
        
        // 复制一份度数，避免修改原数组
        vector<int> cur_deg(n + 1);
        for(int k=1; k<=n; ++k) cur_deg[k] = deg[k];
        
        // 虚拟增加起点和终点度数
        cur_deg[s]++;
        cur_deg[i]++;

        // 初始时，起点s和终点i所在的块必须视为已有了某种关系（虽不一定连通，但在逻辑上纳入考量）
        // 实际上这一步在下面的奇偶修正或MST中会自动处理，但为了逻辑严密，
        // 我们先把 s 和 i 所在的初始块标记为“通过路径连接”
        // 这里不需要显式 unite，因为后面连通性检查会覆盖。

        ll current_ans = base_weight;

        // --- 1. 奇偶性修正 (Parity Fix) ---
        // 找出所有奇数度的点
        vector<int> odds;
        for (int k = 1; k <= n; ++k) {
            if (cur_deg[k] % 2 != 0) odds.push_back(k);
        }

        // 相邻配对
        for (size_t k = 0; k < odds.size(); k += 2) {
            int u = odds[k];
            int v = odds[k+1];
            current_ans += (v - u); // 加上距离花费

            // 【关键】：连接 u, v 意味着区间 [u, v] 内所有的连通块都被串联了
            // 我们遍历 u 到 v 之间的所有点，把它们所在的初始块(block_id)都合并起来
            int root_u = find(block_id[u]);
            for (int x = u + 1; x <= v; ++x) {
                int root_x = find(block_id[x]);
                if (root_u != root_x) {
                    fa[root_x] = root_u; // 合并
                }
            }
        }

        // --- 2. 连通性修正 (MST) ---
        // 经过上面的操作，可能还有若干个大的连通块是断开的
        // 我们需要用 Kruskal 把它们连起来，边的代价是 2 * dist
        
        vector<Edge> edges;
        int pre = 0; // 上一个“有度数的点”或“被涉及到的点”

        for (int k = 1; k <= n; ++k) {
            // 如果点 k 有度数（必经边涉及点 或 s 或 i），或者它在奇偶修正中被连上了
            // 判断方法：只要 cur_deg > 0 或者它被包含在某个连通分量里
            // 更简单的判断：我们只关心那些“有初始度数”的点形成的块之间的连接
            // 因为奇偶修正已经把中间空的都连上了。
            
            // 严谨判断：我们需要连接的是所有“非空”的连通块。
            // 只要 cur_deg[k] > 0，它就是一个关键点。
            if (cur_deg[k] > 0) {
                if (pre != 0) {
                    int root_k = find(block_id[k]);
                    int root_pre = find(block_id[pre]);
                    if (root_k != root_pre) {
                        // 相邻两个关键点所在块不同，添加候选边
                        // 权值为距离，但在 MST 中实际代价是 2 * 距离
                        edges.push_back({root_k, root_pre, abs(k - pre)});
                    }
                }
                pre = k;
            }
        }

        sort(edges.begin(), edges.end());

        for (auto &e : edges) {
            int fu = find(e.u); // e.u 已经是 block_id 的 root 了，但为了保险再 find 一次
            int fv = find(e.v);
            if (fu != fv) {
                fa[fu] = fv;
                current_ans += (ll)e.w * 2; // 必须走往返，所以 * 2
            }
        }

        cout << current_ans << (i == n ? "" : " ");
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    init();
    solve();
    return 0;
}

参考: